Aproksimasi Lagrange Untuk Interpolasi

Interpolasi Linear seperti yang telah dibahasa pada post Konsep Dasar Interpolasi hanya memerlukan 2 titik yang terdekat. Gradien antara titik (x₀,y₀) dan (x₁,y₁) adalah m = (y₁ - y₀)/(x₁ - x₀) di dalam persamaan y = y₀ + m(x - x₀) adalah

dan dapat diubah persamaan di atas ke dalam bentuk polinom

Perhatikan faktor linear dari polinom tersebut adalah

dan

dimana L(x) disebut dengan Koefesien polinom lagrange. Dituliskan kembali dalam bentuk

disebut dengan polinom lagrange derajat 1

Jika P1 digunakan untuk aproksimasi antara x0 dan x1 maka disebut interpolasi dan jika x<x0 atau x>x1 maka disebut extrapolasi.

Bentuk umum dari polinom Lagrange ditulis seperti berikut :

dengan Koefesien polinom lagrange

Sebagai contoh perhatikan polinom Lagrange derajat 2 dan derajat 3 di bawah ini:

polinom lagrange derajat 2

dan

[caption id="attachment_302" align="aligncenter" width="701"] polinom lagrange derajat 3[/caption]

polinom lagrange derajat 3

Bila ditulis dalam bentuk code pemrograman adalah sebagai berikut:

Input N                                         //Derajat 
Input x0, x2, ..., xn                           //x (absis titik)
Input y0, y2, ..., yn                           //y (ordinat titik)

Input t                                         // posisi x yang akan diinterpolasi
Sum = 0                                           // inisial
for i=0 to N do
begin
  Term = y[i]
  for j=0 to N do
  if j≠i then
    term = term * (t - x[j])/(x[i] - x[j])
  sum = sum + term
end

Hasil interpolasi dari code di atas adalah nilai pada

sum